Ciekawostki matematyczne – twierdzenie Borsuka-Ulama

W dobie rozwoju nauk wciąż wydaje nam się, iż matematyka nie ma większego wpływu na nasze życie. Większość ludzi żywi niesłuszne przekonanie, że po maturze ich styczność z „królową nauk” jest skończona raz na zawsze. Nic bardziej mylnego! „Królowa bez Nobla” faktycznie rządzi zjawiskami przyrodniczymi, a jednym z ciekawych przykładów potwierdzających tę tezę jest twierdzenie o antypodach, zwane twierdzeniem Borsuka-Ulama.

Twierdzenie o antypodach to wkład przedwojennych polskich matematyków, Karola Borsuka i Stanisława Ulama, w rozwój topologii, czyli nauki badającej pewne szczególne przekształcenia figur geometrycznych. Żeby zrozumieć, na czym ono polega, będziemy potrzebowali kilku pojęć, które wytłumaczymy intuicyjnie. Funkcja – jak pamiętamy ze szkoły – to po prostu przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru (np. każdemu punktowi figury) dokładnie jednej wartości. Jeżeli wartości w sąsiadujących punktach zmieniają się płynnie (wykres funkcji nie ma „dziur” ani „skoków”) to mówimy, że funkcja jest ciągła. Sfera to powierzchnia kuli, a antypody to takie dwa punkty na sferze, które znajdują się dokładnie naprzeciw siebie (czyli jeśli połączymy je odcinkiem, to ten odcinek przejdzie przez środek sfery). Twierdzenie Borsuka-Ulama mówi nam, że jeśli mamy dwie funkcje określone na pewnej sferze, to zawsze istnieją takie antypody, w których wartość obu funkcji jest równa.
Może to brzmieć trochę skomplikowanie, ale spójrzmy na przykład zastosowania twierdzenia o antypodach. Na nasze potrzeby zakładamy, że kula ziemska jest faktycznie kulą (jak wiemy, w rzeczywistości tak do końca nie jest), a co za tym idzie, jej powierzchnia jest sferą. Zauważmy, że jeśli każdemu punktowi na Ziemi przyporządkujemy jego ciśnienie atmosferyczne i temperaturę powietrza w danej chwili, to otrzymamy dwie funkcje ciągłe; istotnie, zbliżając palec do włączonego żelazka czujemy bijące od niego ciepło, zanim go dotkniemy – im bliżej żelazka, tym cieplej. To pokazuje, że temperatura zmienia się płynnie, a nie skokowo. Tak samo jest z ciśnieniem. Przy tych założeniach, twierdzenie Borsuka-Ulama mówi nam, że zawsze istnieją takie dwa punkty na Ziemi, które są dokładnie naprzeciwko siebie (np. biegun północny i południowy) i jest w nich dokładnie taka sama temperatura i ciśnienie atmosferyczne. Niesamowite, prawda?

Twierdzenie Borsuka-Ulama o antypodach to niejedyny, choć wyjątkowo ciekawy przykład wpływu matematyki na funkcjonowanie świata. Jego dowód jest oczywiście trudny i wymaga zaawansowanych narzędzi matematycznych, ale samo twierdzenie i jego niezwykłe skutki można, jak widać, bardzo prosto wytłumaczyć nawet laikowi. To właśnie stanowi wartość i daje popularność twierdzeniu Borsuka-Ulama.